Question

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为S=

π

4

lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）

Answer 1

分析：（1）根据题意，建立坐标系，可得P的坐标并设出椭圆的方程，将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=

44 7

7

，依题意，可得l=2a，计算可得答案；
（2）根据题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，将（11，4.5）代入方程可得

112

a2

+

4.52

b2

=1，结合基本不等式可得

112

a2

+

4.52

b2

≥

2×11×4.5

ab

，分析可得当ab≥99且l=2a，h=b时，S=

π

4

lh=

πab

2

≥

99π

2

，进而分析可得答案．

解答：解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，
得a=

44 7

7

，
此时此时l=2a=

88 7

7

≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米；

（2）由椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
根据题意，将（11，4.5）代入方程可得

112

a2

+

4.52

b2

=1．
因为

112

a2

+

4.52

b2

≥

2×11×4.5

ab

即ab≥99且l=2a，h=b，
所以S=

π

4

lh=

πab

2

≥

99π

2

当S取最小值时，
有

112

a2

=

4.52

b2

=

1

2

，
得a=11

2

，b=

9 2

2

此时l=2a=22

2

≈31.1，h=b≈6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．

点评：本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．