Question

【题目】已知函数为自然对数的底数).

（Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程;

（Ⅱ）求函数的单调区间;

（Ⅲ）已知函数在处取得极小值,不等式的解集为,若且求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）在上递增,在上递减（3）

【解析】试题分析：（1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）根据导函数零点情况分类讨论函数单调性，（3）根据极值点求a,将集合语言转化为在上有解，分离转化为函数最值： ，最后通过导数求函数最小值得实数的取值范围.

试题解析：解:（Ⅰ）时,

曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）

当时, 恒成立.此时的递增区间为

当时,若时, 时,

此时在上递增,在上递减.

（Ⅲ）由函数在处取得极小值得: 即经检验此时在处取得极小值.

因为,所以在上有解.即,使得成立.

即使得成立.

所以

令

所以在上单调递减,在上单调递增,

则

所以的取值范围是