Question

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左顶点为A，右焦点为F，离心率e=2，焦距为4．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限内，直线MA与MF倾斜角分别为a_l，a₂，求2a₁+a₂的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

2c=4 c a =2

，由此能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1 ，A（-1，0），F（2，0），设M（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，则x02-

y02

3

=1，当MF⊥x轴时，2a₁+a₂=π；当x₀≠2时，k_MA=tana₁=

y0

x0+1

，kMF=tana2=

y0

x0-2

，tan2a₁=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

，由此推导出2a₁+a₂=π．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左顶点为A，
右焦点为F，离心率e=2，焦距为4，
∴

2c=4 c a =2

，解得

a=1 c=2

，∴b²=4-1=3，
∴双曲线C的方程为：x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1 ，A（-1，0），F（2，0），
设M（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，则x02-

y02

3

=1，
当MF⊥x轴时，x₀=2，y₀=3，
则kMF=

3

3

=1，∴a1=

π

4

，a2=

π

2

，2a₁+a₂=π，
当x₀≠2时，k_MA=tana₁=

y0

x0+1

，kMF=tana2=

y0

x0-2

，
tan2a₁=

2y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

，
又y0=3(x02-1)，
∴tan2a1=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-3(x02-1)

=-

y0

x0-2

，
∴tan2a₁+tana₂=0，又a1∈(0，

π

2

)，a2∈(0，π)，
∴2a₁+a₂=π．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查两直线的倾斜角之和的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．