Question

【题目】已知点为抛物线的焦点，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点．

（1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）设直线交抛物线于，两点，试求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，直线过定点（2）的最小值为.

【解析】

（1）设，，显然直线，的斜率是存在的，设直线的方程为，代入可得，可得出的中点坐标为，再根据，得的中点坐标为，再令得，

得出直线恒过点，验证，得，，三点共线，从而直线过的定点；

（2））由（1）设直线的方程为，代入可得，再设，，得韦达定理，，表示出，由二次函数得出线段的最小值．

（1）设，，

直线的方程为，代入可得，

则，故，

故的中点坐标为．

由，得，所以的中点坐标为．

令得，

此时，故直线过点，

当时，，．

所以，，，三点共线，

所以直线过定点．

（2）设，，直线的方程为，

代入可得，则，，

故

（当时，取等号）．

故，当及直线垂直轴时，取得最小值．