Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则与夹角为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据抛物线方程求得焦点的坐标，进而可求得直线l的方程，代入抛物线方程消去x，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得y₁+y₂和y₁y₂的值，进而直线方程求得x₁x₂值然后利用平面向量的运算法则求得和|OA|•|OB|的值，进而向量的数量积的计算求得cos＜，＞的值，最后求得与夹角．
解答：解：抛物线的焦点为F（1，0），直线l的方程为：x=y+1；
将其代入抛物线方程得：y²-4y-4=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
又x₁=y₁²，x₂=y₂²，
∴x₁x₂=（y₁y₂）²=1．
=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3．
|OA|•|OB|===，
∴cos＜，＞==-
故与夹角为x-arccos．
故答案为：x-arccos．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和平面向量的计算．在研究形如y²=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论．