Question

已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，OA•OB=

5

6

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足△ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a²-b²=1．①
∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，则1-

b4

a2

=

5

6

，即a²=6b⁴．②
由①，②消去a，得6b⁴-b²-1=0．∴b²=

1

2

或b²=-

1

3

．
当b²=

1

2

时，a²=

3

2

．因此，椭圆C的方程为

2x2

3

+2y²=1．
（Ⅱ）设存在满足条件的直线l．
（1）当直线l垂直于x轴时，由（Ⅰ）的解答可知|AB|=

2b2

a

=

6

3

，焦点F到右准线的距离为d=

a2

c

-c=

1

2

，
此时不满足d=

3

2

|AB|．
因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) 2x2 3 +2y2=1

?（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

6k2-3

6k2+2

．
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 6k2 3k2+1 )2-4( 6k2-3 6k2+2 )]

=-

6 (k2+1)

3k2+1

．
又设AB的中点为M，则x_M=

x1+x2

2

=

3k2

3k2+1

．
当△ABP为正三角形时，直线MP的斜率为k_MP=-

1

k

．
∵x_p=

3

2

，∴|MP|=

1+ 1 k2

|x_p-x_M|=

1+ 1 k2

•（

3

2

-

3k2

3k2+1

）=

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

．

当△ABP为正三角形时，|MP|=

3

2

|AB|，即

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

=

3

2

•

6 (k2+1)

3k2+1

，
解得k²=1，k=±1．
因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．