Question

设等差数列{a_n}有无穷多项，各项均为正数，前n项和为S_n，m，p∈N^*，且m+p=20，S₁₀=4，则S_m•S_p的最大值为

 

．

Answer 1

分析：设公差为d，由等差数列的求和公式化简可得S_m•S_p=mp[a₁²+9da₁+

1

4

（m-1）（p-1）d²]，由基本不等式可得S_m•S_p=≤mp[a₁²+9da₁+

1

4

(

m-1+p-1

2

)2d²]
由等号成立的条件可得结论．

解答：解：由题意可设等差数列{a_n}的公差为d，
由求和公式可得S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d，S_p=pa₁+

p(p-1)

2

d，
∴S_m•S_p=[ma₁+

m(m-1)

2

d][pa₁+

p(p-1)

2

d]
=mpa₁²+

1

2

mp（p-1）da₁+

1

2

mp（m-1）da₁+

1

4

mp（m-1）（p-1）d²
=mpa₁²+

1

2

mp（m+p-2）da₁+

1

4

mp（m-1）（p-1）d²
=mp[a₁²+9da₁+

1

4

（m-1）（p-1）d²]
≤mp[a₁²+9da₁+

1

4

(

m-1+p-1

2

)2d²]
=mp[a₁²+9da₁+

81

4

d²]
≤(

m+p

2

)2[a₁²+9da₁+

81

4

d²]
=100[a₁²+9da₁+

81

4

d²]
当且仅当m=p时，取等号，此时m=p=10，
∴S_m=S_p=S₁₀=4
又S_m•S_p≤(

Sm+Sp

2

)2，当且仅当S_m=S_p时取等号，
由于此时S_m=S_p=S₁₀=4，
∴S_m•S_p≤(

Sm+Sp

2

)2=(

4+4

2

)2=16
故答案为：16

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及基本不等式的应用，属中档题．