Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是的菱形，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若点E为AA₁上的一点，当CE⊥BB₁时，求二面角A-EC-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先证明AC⊥平面A₁BD，再利用面面垂直的判定，证明平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）证明BD⊥平面ACE，过点D作DF⊥CE，垂足为F，连接BF，则可得∠BFD为二面角A-EC-B的平面角，求出BD、DF的长，即可求得tan∠BFD的值．
解答：（1）证明：∵底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是的菱形，D为AC的中点
∴AC⊥A₁D，AC⊥BD
∴A₁D∩BD=D
∴AC⊥平面A₁BD
∵AC?平面ACC₁A₁，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：∵AA₁∥BB₁，CE⊥BB₁，∴CE⊥AA₁，
∴E为AA₁的中点
∵BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
过点D作DF⊥CE，垂足为F，连接BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为二面角A-EC-B的平面角
∵DF⊥CE，∴DF=
设AB=a，则BD=，DF==
∴tan∠BFD==2
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．