Question

2．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$DC，∠ACD=90°，则对角线BD的最大值为3．

Answer 1

分析 设∠ABC=α，∠ACB=β，则在△ABC中，由余弦定理得AC²=3-2$\sqrt{2}$cosα．
由正弦定理得$\frac{AB}{sinβ}=\frac{AC}{sinα}$，即sinβ=$\frac{sinα}{AC}$
在△BCD中，可得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos（90⁰+β）=2+3-2$\sqrt{2}$cosα+2×$\sqrt{2}$×AC×$\frac{sinα}{AC}$=5+2$\sqrt{2}（sinα-cosα）$=5+4sin（$α-\frac{π}{4}$）即可求解．

解答 解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则在△ABC中，由余弦定理得AC²=3-2$\sqrt{2}$cosα．
由正弦定理得$\frac{AB}{sinβ}=\frac{AC}{sinα}$，即sinβ=$\frac{sinα}{AC}$
∵AD=$\sqrt{2}$DC，∠ACD=90°，∴AC=CD
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos（90⁰+β）
即DB²=2+3-2$\sqrt{2}$cosα+2×$\sqrt{2}$×AC×$\frac{sinα}{AC}$=5+2$\sqrt{2}（sinα-cosα）$
=5+4sin（$α-\frac{π}{4}$）
∴当α=$\frac{3π}{4}$时，对角线BD最大，最大值为3，
故答案为：3

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于难题．