题目内容

如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．

(Ｉ)求a2与an；
(Ⅱ)求Sn，并证明Sn＜．
(Ｉ) ，；（Ⅱ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出各点坐标，再分别求，然后总结与曲线交点坐标，从而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求表达式，利用等比数列前项和公式求，然后把与进行比较，即得证.
试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(，)，故a1＝×＝．
又P2(，)，P3(，)，
故a2＝×[＋－]＝×(12＋32－22)＝．
由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有
(，)，i＝0，1，2，，2k－1－1，
故an＝×[＋－＋－＋＋－]
＝×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]
＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}
＝×
＝．
所以a2＝，an＝，n∈N*．        10分
(Ⅱ)由(Ｉ)知an＝，n∈N*，
故Sn＝－＝－＝．
又对任意的n∈N*，有＞0，
所以Sn＝?＜．               14分
练习册系列答案
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在数列中，.
（1）求；
（2）设，求证：为等比数列；
（3）求的前项积．
已知单调递增的等比数列满足：，且是、的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为               ；
若数列满足：，则前6项的和         .（用数字作答）
设，，且，则      ．
在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是(     )
A．5B．6C．7D．8
为等比数列，若和是方程＋＋＝的两个根，则＝________.
在等比数列中，，，则公比q为         .

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