Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

，则a_n=（　　）

• A．2-

  1

  n

• B．1-

  1

  n

• C．

  1

  n

• D．2-

  1

  n-1

Answer 1

分析：累加法：先变形得，a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），可得a_n（n≥2），注意检验a₁是否适合．

解答：解：a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
则a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，a4-a3=

1

3

-

1

4

，…an-an-1=

1

n-1

-

1

n

，
以上各式相加得，an-a1=1-

1

n

，所以an=2-

1

n

（n≥2），
又a₁=1，所以an=2-

1

n

，
故选A．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项，若递推式为：a_n+1-a_n=f（n），则{a_n}通项往往用累加法求解．