Question

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明你的结论；
（Ⅲ）证明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列得关系式2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_n•b_n+1
把a₁=2，b₁=4循环代入上面两个式子可求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄，并由此猜测出{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用数学归纳法加以证明；
（Ⅲ）当n=1时直接验证，当n大于等于2时放缩后利用裂项相消法证明．

解答：（Ⅰ）解：由已知得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_n•b_n+1．
又a₁=2，b₁=4，
由此可得a₂=6，a₃=12，a₄=20，b₂=9，b₃=16，b₄=25．
猜测a_n=n（n+1），b_n（n+1）²．
（Ⅱ）用数学归纳法证明：
①当n=1时，由（Ⅰ）可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²．
那么当n=k+1时，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），
b_k+1=

ak+12

bk

=（k+2）²．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②可知a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²对一切正整数都成立．
（Ⅲ）证明：

1

a1+b1

=

1

6

＜

5

12

．
n≥2时，由（Ⅰ）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．
故

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

1

6

+

1

2

[

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

]
=

1

6

+

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

6

+

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）＜

1

6

+

1

4

=

5

12

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法，训练了放缩法及列项相消法证明不等式，是中档题．