Question

（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.

（1）求证：BD⊥平面AED；（4分）

（2）求二面角F-BD-C的余弦值.（8分）

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）二面角F-BD-C的余弦值为.

【解析】(1)证明：即可.

(2)可以考虑利用空间向量法求解，先建系，然后再求出二面角两个面的法向量，根据两个法向量的夹角与二面角相等或互补求解.

解：（2012山东高考理18）

解析：

（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，

∴

又CB=CD,∴

∴,即: BD⊥AD    ………………………2分

又BD ⊥AE，，平面AED，且，

故BD⊥平面AED        ……………………4分

（2）法Ⅰ：由（1）可知BD⊥AD ,则，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则, ，…………6分

设向量为平面的法向量，则,即，

取，则，则为平面的一个法向量. ……………9分

 

 易见向量为平面的一个法向量. ……………………10分

，

而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为.…………12分

法Ⅱ：取BD的中点G，连CG,FG,可证为二面角F-BD-C的平面角，在RT⊿FCG中求解即可.