Question

10．已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…a₇x⁷，
（1）求（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）²的值；
（2）求|a_i|（其中i=1，2，…，7）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先令已知等式中的x=1，再令x=-1将得到的两个等式相乘得到要求的代数式的值．
（2）由条件利用二项式系数的性质，检验可得|a_i|的最大值．

解答 解：（1）∵（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…a₇x⁷，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=-1 ①；
再令x=-1，可得 a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇=3⁷ ②．
把①、②相乘，求得（a₀+a₂+a₄+a₆）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）² =-3⁷．
（2）由于|a_i|=${C}_{7}^{i}$•2⁷ （其中i=1，2，…，7），再根据二项式系数的性质可得当i=4、5、6、7时，|a_i|才有可能取得最大值．
检验可得，i=5时，|a_i|取得最大值为672．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求二项展开式的系数和问题，一般先通过观察，然后给已知的等式中的未知数x赋合适的值，从而得到要求的式子的值，属于基础题．