Question

在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，为垂足．

(1)求线段中点M的轨迹C的方程；

(2)过点Q(－2，0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(－，0)，且以为方向向量的直线上一动点，满足(O为坐标原点)，问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P(x1，y1)是方程x2＋y2＝4的圆上的任意一点，则 　　则有：得， 　　轨迹C的方程为 　　(1)当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点． 　　所以设直线l的方程为y＝k(x＋2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为 　　由 　　由△＝ 　　即　 　　，∴四边形OANB为平行四边形 　　假设存在矩形OANB，则，即， 　　即， 　　于是有　得 　　设， 　　即点N在直线上． 　　∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为