题目内容

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 $数学公式$ 的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过 $数学公式$ ，且他直到第二次考核才合格的概率为 $数学公式$ ．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

解：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为 $\text{[math]}$ ．
得（1-p₁）（p₁+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
解得p₁= $\text{[math]}$ 或p₁= $\text{[math]}$ ．
∵p₁≤ $\text{[math]}$ ，∴p₁= $\text{[math]}$ ，
即小李第一次参加考核就合格的概率为 $\text{[math]}$
（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴P（ξ=1）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=2）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=3）=（1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
P（ξ=4）=（1- $\text{[math]}$ ）•（1- $\text{[math]}$ ）•（1- $\text{[math]}$ ）•1= $\text{[math]}$
∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1• $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +4• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果．
（2）小李参加考核的次数ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题目．