Question

17．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为抛物线y²=2px（p＞0）上位于x轴两侧的两点．
（1）若y₁y₂=-2q，证明直线AB恒过一个定点；
（2）若p=2，∠AOB（O是坐标原点）为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线AB在x轴上的截距为t，直线AB的方程为x=my+t，代人y²=2px（p＞0），利用韦达定理，即可证明直线AB恒过一个定点；
（2）利用韦达定理及∠AOB为钝角，结合向量知识，即可求直线AB在x轴上的截距的取值范围．

解答 （1）证明：设直线AB在x轴上的截距为t，直线AB的方程为x=my+t，
代人y²=2px（p＞0），得y²=2p（my+t），即y²-2pmy-2pt=0，
于是-2p=y₁y₂=-2pt，所以t=1，
即直线AB恒过定点（1，0）． 
（2）解：∠AOB（O为坐标原点）为钝角，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0．
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴y₁²y₂²=2px₁•2px₂，
由（1）得y₁•y₂=-2pt，
于是x₁x₂=t²，
又p=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=t²-2pt=t²-4t＜0
解得0＜t＜4，
即直线AB在x轴上的截距的取值范围是（0，4）．

点评 本题考查直线与评委是的位置关系，考查向量知识、韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．