Question

如图，点P是椭圆+=1上一动点，点H是点M在x轴上的射影，坐标平面xOy内动点M满足：（O为坐标原点），设动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的直线l交曲线C于D，E两点，且2=，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），P（x，y），则H（x，0），由动点M满足：（O为坐标原点），得出坐标之间的关系，利用P（x，y）是椭圆+=1上一动点，即可求出曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，得坐标之间的关系，联立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，利用韦达定理，即可求得k=，，，再分，分别求得求直线GD的方程．
解答：解：（Ⅰ）设动点M（x，y），P（x，y），则H（x，0），
由动点M满足：（O为坐标原点），即
∴
∵P（x，y）是椭圆+=1上一动点
∴
∴
∴x²+y²=4
∴曲线C的方程为x²+y²=4
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，
则 
∴x₂=3-2x₁
联立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
则 x₁+x₂=，…①x₁x₂=，…②，
x₂=3-2x₁代入①、②得，，…③，…④
由③、④得k=，…（9分）
∴，
（i）若时，，，
∴，
∴，
∴直线GD的方程是，即；
（ii）当时，同理可求直线GD的方程是…（12分）
点评：本题重点考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题时联立方程，利用韦达定理是关键