Question

（2011•西山区模拟）如图，点P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一动点，点H是点M在x轴上的射影，坐标平面xOy内动点M满足：

3

HM

=2

HP

（O为坐标原点），设动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F的直线l交曲线C于D，E两点，且2

DF

=

FE

，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点M（x，y），P（x₀，y₀），则H（x，0），由动点M满足：

3

HM

=2

HP

（O为坐标原点），得出坐标之间的关系，利用P（x₀，y₀）是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一动点，即可求出曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2

DF

=

FE

，得坐标之间的关系，联立

y=k(x-1) x2+y2=4

，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，利用韦达定理，即可求得k=±

15

3

，x1=

7

4

，x2=3-2x1=-

1

2

，再分k=

15

3

，k=-

15

3

分别求得求直线GD的方程．

解答：解：（Ⅰ）设动点M（x，y），P（x₀，y₀），则H（x，0），
由动点M满足：

3

HM

=2

HP

（O为坐标原点），即

3

(0，y)=2(x0-x，y0)
∴

x0=x y0= 3 y 2

∵P（x₀，y₀）是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一动点
∴

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1
∴

x2

4

+

( 3 y 2 )2

3

=1
∴x²+y²=4
∴曲线C的方程为x²+y²=4
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2

DF

=

FE

，
则 

2(1-x1)=x2-1 -2y1=y2

∴x₂=3-2x₁
联立

y=k(x-1) x2+y2=4

，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
则 x₁+x₂=

2k2

1+k2

，…①x₁x₂=

k2-4

1+k2

，…②，
x₂=3-2x₁代入①、②得，3-x1=

2k2

1+k2

，…③3x1-2

x

2 1

=

k2-4

1+k2

，…④
由③、④得k=±

15

3

，x1=

7

4

…（9分）
∴x2=3-2x1=-

1

2

，
（i）若k=

15

3

时，y1=

15

3

(

7

4

-1)=

15

4

，y2=

15

3

(-

1

2

-1)=-

15

2

，
∴G(-

1

2

，

15

2

)，D(

7

4

，

15

4

)
∴kGD=

15 4 - 15 2

7 4 + 1 2

=-

15

9

，
∴直线GD的方程是y-

15

2

=-

15

9

(x+

1

2

)，即15x+9

15

y-60=0；
（ii）当k=-

15

3

时，同理可求直线GD的方程是15x-9

15

y-60=0…（12分）

点评：本题重点考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题时联立方程，利用韦达定理是关键