Question

（2009•泰安一模）如图，点F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为

1

2

．点C在x轴上，BC⊥BF，且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）从

c

a

=

1

2

着手分析a、b、c之间的关系，再结合条件BC⊥BF，且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线x+

3

y+3=0相切，可求得a，从而可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）假设在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，利用角平分线的性质定理得：

|PF|

|FQ|

=

|PN|

|NQ|

，再结合椭圆的定义进行转化即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

c

a

=

1

2

，
∴c=

1

2

a，b=

a2-c2

=

3

2

a，
又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO=

|OB|

|OF|

=

b

c

=

3

，
∴∠BFO=

π

3

．|BF|=a．
∵BC⊥BF，
∴∠BCF=

π

6

，
∴|CF|=2a．
∴B、C、F三点确定的圆M的圆心M的坐标为：（

a

2

，0），半径r=a；
又圆M与直线x+

3

y+3=0相切，
∴圆心M到直线x+

3

y+3=0的距离等于r，即

| a 2 +0+3|

2

=a，又a＞0，
∴a=2，
∴b=

3

．
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，
则由角平分线的性质定理得：

|PF|

|FQ|

=

|PN|

|NQ|

，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4，
∴

|PF|

|FQ|

=

4-|PF|

4-|FQ|

，
∴|PF|=|QF|，即F为PQ的中点，
∴PQ⊥x轴，这与已知“过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点”矛盾，
∴假设不成立，即在x轴上不存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，求椭圆的方程，关键在于根据题意从角入手分析出a、b、c之间的关系，难点在于（Ⅱ）中椭圆定义的灵活应用，属于难题．