Question

【题目】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 曲线的方程为 ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）设动点，利用斜率公式，由，化简即可得到曲线的方程；

（2）由已知直线过点，设的方程为，联立方程组，得，

得到的表达式，即可确定定值，得到定点的坐标．

试题解析：

（1）设动点，则， ，

， 即．

化简得： ，

由已知，故曲线的方程为 ．

（2）由已知直线过点，

设的方程为，则联立方程组，

消去得,

设， ，则，

直线与斜率分别为， ，

．

当时， ；当时， ．

所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．