Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）求证：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）是否存在不为0的实数k和t，使$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$？如果存在，试确定k与t的关系，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量的数量积证明即可．
（2）化简$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$然后通过向量的数量积是否为0，推出结果即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}-1×\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（2）$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（$-\sqrt{3}k+\frac{1}{2}t$，-k$+\frac{\sqrt{3}}{2}t$），
如果$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，则$（\sqrt{3}+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}）（-\sqrt{3}k+\frac{1}{2}t）$+（-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$）（-k$+\frac{\sqrt{3}}{2}t$）=0．
可得t³-3t-$\sqrt{3}{kt}^{2}$+（3$\sqrt{3}$-2）k=0．

点评 本题考查向量的数量积判断向量的垂直关系，基本知识的考查．