Question

设椭圆（a>b>0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且。

（1）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、 E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）由题意，，
∵
∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
即椭圆方程为。
（2）当直线DE与x轴垂直时
，此时|MN|=2a =2，
四边形DMEN的面积
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S=
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，
设DE：y= k（x+1），代入中
消去y得：（2+3k²）x²+ 6k²x+（3k²-6）=0
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则

所以
所以
同理
所以四边形DMEN的面积

令，得
因为，当且仅当k=±1时，u=2，
且S是以u为自变量的增函数，
所以
综上可知
故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为。