Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(a＞1＞b＞0).

(1)求y=f(x)的定义域；

(2)在函数图像上是否存在不同两点，使过此两点的直线平行于x轴.

Answer 1

思路分析：(1)转化为解不等式a^x-b^x＞0；(2)将问题化归为研究函数的单调性问题.

解：(1)由a^x-b^x＞0，得()^x＞1.∵＞1，∴x＞0.

∴函数的定义域为(0，+∞).

(2)对于任意x₁＜x₂＜0，∵a＞1＞b＞0，

∴，b.

∴.

∴lg()＜lg().

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.

假设y=f(x)上存在不同的两点A(x₁，y₁),B(x₂，y₂)，使直线AB平行于x轴，则x₁≠x₂，y₁=y₂，这与f(x)是增函数矛盾.

∴y=f(x)的图像上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.