Question

如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)均在抛物线上.

（1）写出该抛物线的方程及其准线方程;

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y₁+y₂的值及直线AB的斜率.

Answer 1

解：(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y²=2px.

    ∵点P(1,2)在抛物线上,∴2²=2p×1,解得p=2.

    故所求抛物线的方程是y²=4x,准线方程是x=-1.

    (2)设直线PA的斜率为k_PA,直线PB的斜率为k_PB,则

    k_PA=(x₁≠1),k_PB=(x₂≠1),

    ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,

    ∴k_PA=-k_PB.

    由A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)均在抛物线上,得

    y₁²=4x₁,                ①

    y₂²=4x₂.                ②

    ∴=-.

    ∴y₁+2=-(y₂+2).

    ∴y₁+y₂=-4.

    由①-②得直线AB的斜率

    k_AB===-=-1(x₁≠x₂).