Question

如图A₁（x₁，y₁）（y₁＜0）是抛物线y²=mx（m＞0）上的点，作点A₁关于x轴的对称点B₁，过B₁作与抛物线在A₁处的切线平行的直线B₁A₂交抛物线于点A₂．
（1）若A₁（4，-4），求点A₂的坐标；
（2）若△A₁A₂B₁的面积为16，且在A₁，B₁两点处的切线互相垂直．
①求抛物线方程；
②作A₂关于x轴的对称点B₂，过B₂作与抛物线在A₂处的切线平行的直线B₂A₃，交抛物线于点A₃，…，如此继续下去，得一系列点A₄，A₅，…，设A_n（x_n，y_n），求满足x_n≥10000x₁的最小自然数n．

Answer 1

分析：（1）由A₁（4，-4）在抛物线上代入可求m，设出A₂（x₂，-2x₂），对函数y=-

mx

求导根据导数的几何意义可求x₂，即可求解A₂．
（2）①设A₁，B₁处切线的斜率分别为K₁，K₂，容易得出K₁•K₂=-1，代入点的坐标即可得到m与x₁ 的方程，再设A₂，结合已知又可得x₂，x₁的关系，代入三角形的面积公式中即可可求知x₁，m，从而可求抛物线方程
②由题意可求x_n与x_n-1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求n的最小值

解答：解：（1）若A₁（4，-4）在抛物线上
∴16=4m
∴m=4，
设A₂（x₂，-2x₂），y=-

mx

，y′=-

m

2 x

，B（4，4）
∴

2 x2 +4

x2-4

=

1

2

∴x₂=36
∴A₂（36，-12）…．…．…（3分）
（2）①设A₁，B₁处切线的斜率分别为K₁，K₂，K₁•K₂=-1
∴（-

m

2 x1

）.

m

2 x1

=-1
∴m=4x_{1 ①}
设A₂（x₂，-

mx2

）
∴

- mx2 - mx1

x2-x1

=-

1

2 mx1

∴x₂=9x_{1 ②}
又S=

1

2

×2

mx1

（x₂-x₁）=16 ③由①②③知x₁=1，m=4
∴抛物线方程为y²=4x…..…（6分）
②由（2）知

- mxn - mxn-1

xn-xn-1

=-

m

2 xn-1

，
∴x_n=9x_n-1，
∴数列{x_n}为等比数列，
∴x₁9^n-1≥10000x₁
∴n≥6∴n最小值为6…（10分）

点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力