Question

知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜

π

2

），g（x）=2sin²x．若函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为

π

2

，且直线x=

π

6

是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为

π

2

得函数的周期，求得ω．进而根据直线x=

π

6

是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求得sin（2•

π

6

+φ）=±1，最后根据|φ|＜

π

2

求得φ，函数的表达式可得．
（2）把f（x）和g（x）的表达式代入h（x）中，化简整理可得函数h（x）的表达式，进而根据正弦函数的性质求得函数的单调递增区间．

解答：解：（1）由函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为

π

2

得函数周期为π，
∴w=2∵直线x=

π

6

是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴sin（2•

π

6

+φ）=±1，
φ=2kπ+

π

6

或2kπ

7π

6

，（k∈Z），∵|φ|＜

π

2

，
φ=

π

6

．∴f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=sin（2x+

π

6

）+2sin²x=sin（2x-

π

6

）+1
∵函数y=sin（2x-

π

6

）的单调增区间是2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴函数h（x）的单调递增区间为kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．

点评：本题主要考查了函数的周期性及其三角函数的性质．属基础题．