题目内容
已知函数f（x）=sin（2x+θ）+2
cos2（x+
）-
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）问是否存在一个角θ，使得函数f（x）为偶函数？若存在请写出这样的角θ，并加以说明；若不存在，也请说明理由．
| 3 |
| θ |
| 2 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）问是否存在一个角θ，使得函数f（x）为偶函数？若存在请写出这样的角θ，并加以说明；若不存在，也请说明理由．
分析：（1）利用辅助角公式对 函数化简可得f(x)=sin(2x+θ)+
[1+cos(2x+θ )]-
=2sin(2x+θ+
)，由周期公式可求T
（2）假设f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），即2sin(2x+θ+
)=2sin(θ+
-2x)对任意的x恒成立，从而可求θ
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）假设f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），即2sin(2x+θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵f(x)=sin(2x+θ)+
[1+cos(2x+θ )]-
=sin(2x+θ)+
cos(2x+θ)
=2sin(2x+θ+
)
∴T=
=π
（2）假设f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x）
∴2sin(2x+θ+
)=2sin(θ+
-2x)
∴sin2xcos(θ+
)+sin(θ+
)cos2x=sin(θ+
)cos2x-cos(θ+
)sin2x
∴2sin2xcos(θ+
)=0对任意的x恒成立
∴θ+
=kπ+
∴θ=kπ+
，k∈Z
故存在θ=kπ+
，k∈Z，使得函数f（x）为偶函数
| 3 |
| 3 |
=sin(2x+θ)+
| 3 |
=2sin(2x+θ+
| π |
| 3 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
（2）假设f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x）
∴2sin(2x+θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sin2xcos(θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2sin2xcos(θ+
| θ |
| 3 |
∴θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
故存在θ=kπ+
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查了利用辅助角公式对三角函数进行化简，进而求解三角函数的周期，及利用偶函数的定义求解三角函数的初相θ
练习册系列答案
相关题目
