Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且函数f（x）的图象过点(

π

2

，-1)．
（1）求ω和φ的值；
（2）设g(x)=f(x)+f(

π

4

-x)，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得ω=2，再根据f（x）当x=

π

2

时函数值等于-1，建立关于φ的等式，结合0＜φ＜π，即可得到φ的值；
（2）根据（1）的结果，代入可得g（x）=cos2x+sin2x，用辅助角公式合并得g（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，最后根据正弦函数单调区间的结论，解不等式即可得到函数g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由题意，可知ω=

2π

T

=

2π

π

=2，…（2分）
又∵函数f（x）的图象过点(

π

2

，-1)，
∴f(

π

2

)=-1得，sin(2•

π

2

+φ)=-1，得sinφ=1
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

，…（4分）
（2）由（1）知：f(x)=sin(2x+

π

2

)=cos2x…（6分）
因为g(x)=cos2x+cos(

π

2

-2x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)…（9分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)．…（11分）
∴函数g（x）的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．…（12分）

点评：本题已知函数y=Asin（ωx+φ）的周期和一个对应值，求函数的表达式，着重考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质和正弦函数的单调性等知识，属于基础题．