题目内容

（理）已知向量， （n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn•（4an2-5）=1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求；
（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、An（n，an）、…中是否存在两点Ai，Aj（i，j为正整数）使直线AiAj的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．
【答案】分析：（1）根据平面向量数量积的坐标公式，代入得f（x）=是一个关于x二次函数，其图象是开口向上抛物线，在对称轴处函数取到最小值，由二次函数对称轴方程，得到数列{an}的通项公式；
（2）根据（1）的结论，将代入bn的表达式，得到，用裂项的方法求出其前n项和Sn的表达式，最后可得其极限的值；
（3）对于这类问题，我们可以先假设存在满足条件的数对（i，j），然后再进行推理可得结论．具体作法：任取Ai、Aj（i、j∈N*，i≠j），设AiAj 所在直线的斜率为kij，则 ，从而得到不存在满足条件的数对（i，j），得出结论．
解答：解：（1）f（x）=…（2分）
函数y=f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为，
开口向上，在（0，+∞） 上，当 时函数取得最小值，
所以；…（4分）
（2）将（1）中{an}的表达式代入，得．…（6分）
∴，…（8分）
所以所求的极限为：=；…（10分）
（3）任取Ai、Aj（i、j∈N*，i≠j），设AiAj 所在直线的斜率为kij，
则 =．
因此不存在满足条件的数对（i，j），使直线AiAj的斜率为1．…（16分）
点评：本题综合了数列与向量、数列与函数以及数列的极限等知识点，是一道难题．对思维的要求较高，考查了转化化归和函数与方程的数学思想．
练习册系列答案
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（理）已知向量
m
=（1，1），向量
n
和向量
m
的夹角为
3π
4
，|
m
|=
2
，
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
与向量
q
=（1，0）的夹角为
π
2
，向量
p
=（cosA，2cos2
C
2
），其中A、B、C为△ABC的内角a、b、c为三边，b2+ac=a2+c2，求|
n
+
p
|的取值范围．
（理） 已知向量
a
=(2cosφ，2sinφ)，φ∈(
π
2
，π)，向量
b
=(0，-1)，则向量
a
与
b
的夹角为（　　）
A、φ
B、
π
2
+?
C、?-
π
2
D、
3π
2
-?
（理） 已知向量
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（7，0，λ），若
a
、
b
、
c
三个向量共面，则实数λ=
 
．
（理）已知向量
a
=（3，5，-1），
b
=（2，2，3），
c
=（4，-1，-3），则向量2
a
-3
b
+4
c
的坐标为（　　）
（理）已知向量
m
同时垂直于不共线向量
a
和
b
，若向量
n
=2
a
+
b
，则（　　）
A、
m
∥
n
B、
m
⊥
n
C、
m
与
n
既不平行也不垂直
D、以上三种情况均有可能

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