Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在棱上是否存在一点E，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；

【解析】

（1）由线面平行判定定理证明即可；

（2）由勾股定理得出，进而得，再由面面垂直的性质定理即可证明平面；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

证明：（1）因为，

平面，

平面，

所以平面.

（2）取的中点N，连接.

在直角梯形中，

易知，且.

在中，由勾股定理得.

在中，由勾股定理逆定理可知.

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面.

（3）取的中点O，连接，.

所以，

因为平面，

所以平面.

因为，

所以.

如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.

易知平面的一个法向量为.

假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为.

不妨设（），

所以，

设为平面的一个法向量，

则 即

令，，所以.

从而.

解得或.

因为，所以.

由题知二面角为锐二面角.

所以在棱上存在一点E，使得二面角的大小为，

此时.