Question

已知{a_n}是首项为a₁=1的等差数列且满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}的前三项分别为b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足（a_n+3）c_nlog₂b_n=

1

2

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
首项a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}为等比数列，∴

b

22

=b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即数列{a_n}为单调递增数列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
则b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=b1qn-1=2n，
∴a_n=2n-1，bn=2n，
（Ⅱ）由题意得，(an+3)cnlog2bn=

1

2

，再由（1）结果代入，
变形得cn=

1

2(an+3)log2bn

=

1

2n(2n+2)

=

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)，
∴S_n=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2n+2

)=

n

4(n+1)

．