Question

已知{a_n}是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求f(n)=

Sn	(n+6) Sn+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）依题意有(a7+2)2=3a3a9，结合等差数列的通项公式可求d，进而可求通项a_n，
（2）由等差数列的求和公式可求S_n，S_n+1，代入到f（n）后，结合对勾函数f（x）=x+

k

x

（k＞0）的单调性可求f（n）的最大值

解答：解：（1）依题意有(a7+2)2=3a3a9
∴（3+6d）²=3（1+2d）（1+8d）（2分）
∴2d²-d-1=0
∵d＞0
解得d=1或d=-

1

2

（舍去） （4分）
∴a_n=1+（n-1）×1=n
故 a_n=n为所求      （6分）
（2）由等差数列的求和公式可得，Sn=

(1+n)n

2

，Sn+1=

(2+n)(1+n)

2

（8分）
得f(n)=

Sn

(n+6)Sn+1

=

n

(n+6)(n+2)

=

1

n+ 12 n +8

（9分）
由函数y=n+

12

n

的单调性可知，n∈(0，2

3

)单调递减，(2

3

，+∞)上单调递减，
则f(n)max=max{f(3)，f(4)}=max{

1

15

，

1

15

}=

1

15

（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式的简单应用，对勾函数的单调性的应用是求解（2）的关键