Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）设b_n=

an

2n

，求证：数列{b_n}是等差数列：
（2）设数列{c_n}满足c_n=

1

log2( an n+1 ) +1

（n∈N^*），T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式2mT_n＞C_n恒成立，实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当n=1时：S₁=a₁=2a₁-2ⁿ⁺¹，解得a₁=4当n≥2时，由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，所以a_n=2a_n-1+2ⁿ，由此能够证明数列{b_n}是等差数列．
（2）由b_n=1+2（n-1）=2n-1，知a_n=（n+1）•2ⁿ．所以Cn•Cn+1=

1

n+1

•

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，故Tn=

1

2

-

1

n+2

，由2mT_n＞c_n，得m＞

n+2

n(n+1)

，令f(n)=

n+2

n(n+1)

，由f（n）在n∈N^*时单调递减，能求出m的值．

解答：（1）当n=1时：S₁=a₁=2a₁-2^1|1，解得a₁=4
当n≥2时
由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹　…①
且S_n-1=2a_n-1-2ⁿ　…②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ
有：a_n=2a_n-1+2ⁿ
得

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴b_n-b_n-1=1，
b1=

a1

2

=2，
故数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得：b_n=1+2（n-1）=2n-1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ．
∴Cn=

1

n+1

，
∴Cn•Cn+1=

1

n+1

•

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

n+2

，
由2mT_n＞c_n，得：2m(

1

2

-

1

n+2

)＞

1

n+1

，
得m＞

n+2

n(n+1)

，
又令f(n)=

n+2

n(n+1)

，
∴f(n+1)-f(n)=

n+3

(n+1)(n+2)

-

n+2

n(n+1)

=

1

n+1

(

n+3

n+2

-

n+2

n

)＜0，
故f（n）在n∈N^*时单调递减，
∴f(n)＜f(1)=

3

2

，
得m＞

3

2

．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合数列求不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．