Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线（p是正常数）的距离为d₁，到点的距离为d₂，且d₁-d₂=1．（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线 的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证=；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FEN（A、B、M、N是（2）中的点），，求λ 的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点为P（x，y），依据题意，有，化简得y²=2px，由此能求出动点P所在曲线C的方程．
（2）由题意可知，当过点F的直线l（3）的斜率为0时，不合题意，故设直线l：x=my-1，联立方程，可化为y²-2mpy-p²=0，再由韦达定理进行求解．
（3）依据x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，，知==，==p⁴（1+m²）．由此能得到λ 的值．
解答：解 （1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有，化简得y²=2px．（4分）
因此，动点P所在曲线C的方程是：y²=2px．（6分）
（2）由题意可知，当过点F的直线l（3）的斜率为0时，不合题意，
故可设直线l：x=my-1，如图所示．（8分）
联立方程组，可化为y²-2mpy-p²=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足．（10分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点、．
于是，，，
因此．（12分）
（3）依据（2）可算出x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，，
则==，==p⁴（1+m²）．（16分）
所以，即为所求．（18分）
点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．