Question

6．若偶函数y=f（x）（x∈R且x≠0）在（-∞，0）上的解析式为f（x）=ln（-$\frac{1}{x}$），则函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由函数为偶函数结合已知函数的解析式求出函数在x＞0时的解析式，然后求其导函数，取x=2得函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率．

解答 解：设x＞0，则-x∈（-∞，0），
∴f（-x）=ln（$-\frac{1}{-x}$）=ln$\frac{1}{x}$，
∵y=f（x）为偶函数，
∴f（x）=ln$\frac{1}{x}$（x＞0），
当x＞0时，${f}^{′}（x）=x•（-\frac{1}{{x}^{2}}）=-\frac{1}{x}$，
则${f}^{′}（2）=-\frac{1}{2}$．
∴函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为$-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．