题目内容

已知 $数学公式$ 与 $数学公式$ 为两个不共线的单位向量，若向量 $数学公式$ + $数学公式$ 与向量k $数学公式$ - $数学公式$ 垂直，则实数k=________．

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分析：根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（k $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0，结合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为两个单位向量，整理得（k-1）（1- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）=0，再根据单位向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线，得到1- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≠0，从而得到k=1．
解答：∵向量 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与向量k $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 垂直，
∴它们的数量积为零，即：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（k $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0
∴k $\text{[math]}$ ²+（k-1） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ²=0…（*）
∵ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为两个单位向量，
∴ $\text{[math]}$ ²= $\text{[math]}$ ²=1
所以（*）式化为：k+（k-1） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -1=0
即：（k-1）（1- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）=0
∵单位向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜1?1- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≠0
因此：k=1
故答案为：1
点评：本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．