Question

【题目】 如图，是等腰直角三角形，，，分别为的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥

（1）求证：平面；

（2）当四棱锥体积取最大值时，

(i) 写出最大体积；

(ii) 求与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）(i)最大体积为；(ii).

【解析】

（1）由翻折前后的不变性，得，，且，可证得；

（2）(i)当面底面时，四棱锥的体积达到最大；

(ii)当四棱锥体积取最大值时，可得平面ABFE.，以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量和，再求两个向量夹角的余弦值，进而得到线面角的正弦值。

证明：（1）因为是等腰直角三角形，，分别为的中点，

所以，，又因为，

所以，因为，

所以.

（2）(i) 当面底面时，四棱锥的体积达到最大，

则.

(ii) 因为四棱锥体积取最大值,所以平面ABFE.

分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则,，，,，，.

设平面的一个法向量为,由得,

取，得．则，

所以，所以与平面所成角的正弦值为，

所以与平面所成角的大小为.