题目内容

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，截面AB₁C和A₁BC₁相交于DE，则三棱锥B-B₁DE的体积为________．

$\text{[math]}$ a³
分析：由题意求出三角形B₁DE与三角形AB₁C的面积比，求出三棱锥B₁-BAC的体积，即可求三棱锥B-B₁DE的体积．
解答：因为几何体是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，截面AB₁C和A₁BC₁相交于DE，
所以D、E分别是AB₁，CB₁的中点，
所以S_△B1DE：S_△B1AC=1：4，B到平面B₁AC距离相同，
三棱锥B₁-BAC的体积为V，即可求三棱锥B-B₁DE的体积为V₁，
$\text{[math]}$ ，
V= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
则三棱锥B-B₁DE的体积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题是中档题，考查几何体的体积的求法，考查转化思想，注意面积比与相似比的应用，体积的转化是解题的关键，考查计算能力．

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