Question

【题目】已知函数．

（1）若，求证：当时，；

（2）若函数与函数有两个不同交点其中，证明：存在，使得在处的切线斜率与在处的切线斜率相等.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据，得 ，，用导数法研究其单调性，得即可.

（2）根据函数与函数有两个不同交点，转化为在上有两个不同的根，，再假设存在，使得在处的切线斜率与在处的切线斜率相等.转化为有解.令，因为，所以有两个零点，一正一负，设正根为m，有再证即可.

（1）因为，所以 ，

令，

所以，

当时，，当时，，

所以当时，取最大值0.

所以.

即.

（2）因为函数与函数有两个不同交点，

所以在上有两个不同的根，，

假设存在，使得在处的切线斜率与在处的切线斜率相等.

所以有解.

令，

因为，所以有两个零点，一正一负，设正根为m，有

当时，，即所以在上递增，

当时，，即所以在上递减，

因为在上有两个不同的根，，

所以，，

即存在，使得在处的切线斜率与在处的切线斜率相等.