Question

7．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E为DD₁的中点．
（1）求证：直线AC⊥平面BB₁D₁D；
（2）求直线BD₁与AE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明一条直线垂直一个平面，只需要证明这条直线垂直平面内的两条相交直线即可．
（2）求异面直线所成的角的值，首先通过平移相交，证明异面直线的角，再进行计算．

解答 解：（1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB₁
又∵AC⊥BD，BD，BB₁?平面BB₁D₁D，BD∩BB₁，
所以AC⊥平面BB₁D₁D；
（2）由题意，设AC∩BD=O，连结OE，则O、E分别是BD、DD₁的中点，所以OE∥BD₁，所以∠OEA=θ就是直线BD₁与AE所成的角．
由（1）知，AC⊥平面BB₁D₁D，又OE?平面BB₁D₁D，所以AC⊥OE．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，
则$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$，$AE=\sqrt{A{D^2}+D{E^2}}=\sqrt{4{a^2}+{a^2}}=\sqrt{5}a$，
在Rt△AOE中，$sinθ=\frac{AO}{AE}=\frac{{\sqrt{2}a}}{{\sqrt{5}a}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
所以：直线BD₁与AE所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的证明方法以及异面直线所成角的计算．属于基础题．