题目内容

设y=f(x)，y=g(x)是定义在R上的两个函数，求证：D[f(x)±g(x)]= Df(x)±Dg(x)．

答案：
解析：

证明：证明有关增量的恒等式，直接按其定义证明．

　　设F(x)=f(x)±g(x)

　　则DF(x)=F(x+Dx)-F(x)，即

　　DF(x)=[f(x+Dx)±g(x+Dx)]-[f(x)±g(x)]

　　　　=[f(x+Dx)-f(x)]±[g(x+Dx)-g(x)]

　　　　=Df(x)±Dg(x)

∴　D[f(x)±g(x)]= Df(x)±Dg(x)．


练习册系列答案
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设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x-2sinx．求证：y=x+2为曲线f（x）的“上夹线”．
（Ⅱ）观察下图：
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根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明．
设函数f（x）对于x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）说明函数f（x）是奇函数还是偶函数？
（2）探究f（x）在[-3，3]上是否有最值？若有，请求出最值，若没有，说明理由；
（3）若f（x）的定义域是[-2，2]，解不等式：f(log2x)+f(log4x-4)＜2．
设y=f（x）函数在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)=
f(x)，f(x)≤K
1
f(x)
，f(x)＞K
，取函数f（x）=a-|x|（a＞1），当K=
1
a
时，函数fK（x）值域是
(0，
1
a
]∪[1，a)
(0，
1
a
]∪[1，a)
．
（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

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