Question

8．设（1+$\frac{1}{2}$x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_mx^m，若a₀，a₁，a₂成等差数列．
（Ⅰ）求展开式的中间项；
（Ⅱ）求展开式中所有含x奇次幂的系数和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2a₁=a₀+a₂，求得m=8，可得展开式的中间项是第五项，再根据通项公式求得结果．
（Ⅱ）在所给的等式中，分别令x=1、x=-1，可得2个等式，由这2个等式即可求得展开式中所有含x奇次幂的系数和．

解答 解：（Ⅰ）依题意a₀=1，${a_1}=\frac{m}{2}$，${a_2}={C_m}^2{（\frac{1}{2}）^2}$，由2a₁=a₀+a₂
可得m=1（舍去），或m=8，
所以${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展开式的中间项是第五项为：${T_5}=C_8^4{（\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$；
（Ⅱ）${（1+\frac{1}{2}x）^m}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_m}{x^m}$
即${（1+\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$
令x=1则${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_8}={（\frac{3}{2}）^8}$，
令x=-1则${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_8}={（\frac{1}{2}）^8}$，
所以${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{{3^8}-1}}{2^9}=\frac{205}{16}$，
所以展开式中含x的奇次幂的系数和为$\frac{205}{16}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．