Question

3．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ x-y≤1\;，\;\\ x+y≤1\;\end{array}\right.$且z=x+ay的最大值为2，则a=2，-2．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，结合目标函数的最大值为2，分别得到过区域界点时的a值，然后根据条件验证即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ x-y≤1\;，\;\\ x+y≤1\;\end{array}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+ay得y=$-\frac{1}{a}$x$+\frac{z}{a}$，
由图象可知
当直线经过点A（0，-1）时，z最大为2，
即x+ay=2．此时0-a=2．
解得a=-2．直线为y=$\frac{1}{2}$x$-\frac{z}{2}$经过A时z最大满足题意；
当直线经过B（1，0），z最大为2，即x+ay=2，
此时1-0=2矛盾；故不合题意．
当直线经过图中C（0，1）时，z最大为2即a=2，此时直线方程为y=$-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过C时在y轴截距最大，z最大；满足题意；
综上满足条件的a=2或-2．
故答案为：2，-2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法