Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．
（1）求证：P在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出双曲线半焦距，求得渐近线方程，则可求得过F的垂线方程，联立方程求得焦点p的横坐标，推断出在右准线上
（2）根据直线l与双曲线左右支均有交点，判断出该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，进而推断出 

b

a

＞

a

b

整理后即可求得a和c的不等式关系，求得离心率的范围．

解答：解：（1）设双曲线半焦距为c，c＞0，有F（c，0） 
该渐近线方程为y=-

b

a

x，则过F的垂线为y=

a

b

（x-c） 
联立方程组可解得  x=

a2

c

，即在右准线x=

a2

c

上．
（2）因为直线l与双曲线左右支均有交点，则该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．
所以l₁的斜率必大于l的斜率，即 

b

a

＞

a

b

，即b² ＞a²，又b²=c²-a²，
所以c²＞2a²    
则离心率e=

c

a

＞

2

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等．