Question

3．在△ABC中，sinC=3sin（B-A）．
（1）求证：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$；
（2）若cosC=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求B的值．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由sinC=3sin（B-A）利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得 2sinAcosB=cosAsinB．再利用正弦定理证得 2•BA•BC•cosB=AC•AB•cosA，可得 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$成立．
（2）由（1）可得 tanB=2tanA．由cosC=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$利用同角三角函数的基本关系求得tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=-3，可得tan（A+B）=3=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，由此求得tanB的值．

解答 解：（1）证明：△ABC中，∵sinC=3sin（B-A），∴sin（A+B）=3sin（B-A），
∴sinAcosB+cosAsinB=3cosAsinB-3sinAcosB，即 2sinAcosB=cosAsinB．
再利用正弦定理可得2a•cosB=b•cosA，∴2ac•cosB=bc•cosA，
即 2•BA•BC•cosB=AC•AB•cosA，即2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$成立．
（2）由（1）可得2sinAcosB=cosAsinB，即 tanB=2tanA．
∵cosC=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=-3=-tan（A+B），
∴tan（A+B）=3=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\frac{3}{2}tanB}{1-\frac{1}{2}•tanB•tanB}$，解得tanB=-2（舍去），或tanB=1．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理，两个向量的数量积的定义，属于中档题．