已知圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$..直线l的方程是x+y-a=0.以坐标原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C与直线l的极坐标方程以及圆心C的极坐标,(2)已知圆C和直线l相交于A.B两点.若△AOB是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数），直线l的方程是x+y-a=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C与直线l的极坐标方程以及圆心C的极坐标；
（2）已知圆C和直线l相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，求实数a的值．

分析（1）把圆C的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程，
把直线l的普通方程化为极坐标方程；
（2）利用圆C和直线l的普通方程联立，消去y，利用根与系数的关系求出|AB|、|OA|，
由△AOB是等边三角形，得|AB|=|OA|，求出a的值．

解答解：（1）把圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$，（φ为参数）
化为普通方程是（x-1）²+（y-1）²=2，
再化为极坐标方程是（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-1）²=2，
即ρ=0（舍去），ρ=2sinθ+2cosθ；
圆心坐标是（1，1），
圆心的极坐标是（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
把直线l的方程x+y-a=0化为极坐标方程是
ρcosθ+ρsin-a=0，
即ρ=$\frac{a}{sinθ+cosθ}$；
（2）圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，和直线l：x+y-a=0相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-a=0}\\{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}=2}\end{array}\right.$，
消去y，得2x²-2ax+a²-2a=0；
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-2a}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-4×\frac{{a}^{2}-2a}{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4a{-a}^{2}}$，
由${{（x}_{1}-1）}^{2}$+${{（y}_{1}-1）}^{2}$=2，
得${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=2（x₁+y₁），
又x₁+y₁-a=0，
∴|OA|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2{（x}_{1}{+y}_{1}）}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{a}$；
又△AOB是等边三角形，∴|AB|=|OA|，
即$\sqrt{2}$•$\sqrt{4a{-a}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{a}$，
解得a=0（不合题意，舍去）或a=3；
∴实数a的值为3．