Question

13．已知椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{2m+10}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-2}$=1的左焦点为F（m，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线l与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C．
（1）求椭圆W的离心率；
（2）若△AMF与△CMF的面积分别为S₁和S₂，且S₁=λS₂，求λ的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{2m+10}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-2}$=1的左焦点为F（m，0），可得2m+10-（m²-2）=m²，m＜0，解得m．即可得出离心率．
（2）由（1）可得：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l的方程为：ty=x+3．与椭圆的方程联立化为（t²+3）y²-6ty+3=0，设A关于x轴的对称点A′（x₁，-y₁），利用根与系数的关系、斜率计算公式可证明：A′，F，B三点共线，可得A′与点C重合．即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{2m+10}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-2}$=1的左焦点为F（m，0），
∴2m+10-（m²-2）=m²，m＜0，解得m=-2．
∴a²=2m+10=6，c=2．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{4}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由（1）可得：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线l的方程为：ty=x+3．
联立（2）$\left\{\begin{array}{l}{ty=x+3}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化为（t²+3）y²-6ty+3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{3}{{t}^{2}+3}$．
设A关于x轴的对称点A′（x₁，-y₁），
下面证明：A′，F，B三点共线，
∵k_BF=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，${k}_{F{A}^{′}}$=$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，
∴k_BF-${k}_{F{A}^{′}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$-$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）+{y}_{1}（{x}_{2}+2）}{（{x}_{2}+2）（{x}_{1}+2）}$，
∴分子=y₂（ty₁-3+2）+y₁（ty₂-3+2）
=2ty₁y₂-（y₁+y₂）
=$\frac{2t×3}{{t}^{2}+3}$$-\frac{6t}{{t}^{2}+3}$=0，
∴k_BF=${k}_{F{A}^{′}}$，
∴A′，F，B三点共线，
∴A′与点C重合．
∴S₁=S₂，∴λ=1．
∴λ的取值集合为{1}．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．