Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=（1，1-

3

sinA），n=（cosA，1），且m⊥n．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若b+c=

3

a，求sin（B+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量垂直的坐标表示列出方程，利用两角和差的正弦公式进行化简，再由三角形内角的范围求出角A；
（2）根据正弦定理将式子转化为角的正弦，再由内角和定理表示出角C，根据两角和差的正弦公式进行化简求值．

解答：解：（1）由题意知，

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，即cosA+1-

3

sinA=0．（2分）
∴

3

sinA-cosA=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

．（5分）
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

．（6分）
（2）∵b+c=

3

a，由正弦定理得，sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

．（8分）
∵B+C=

2π

3

，∴sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

．化简得

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

2

，
即sin（B+

π

6

）=

3

2

．（12分）

点评：本题是有关三角的综合题，常与向量进行结合，主要利用三角恒等变换的公式和正弦（余弦）定理进行化简，注意利用内角和定理，是高考必考的题型之一．