Question

【题目】如图，在正三棱柱中，点是棱的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结交于点，连结，利用四边形是平行四边形，进而证明出∥，即可利用线面平行的判定定理，证得平面；（2）分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的平面角的余弦值，进而求解其正弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：连结交于点，连结．

在正三棱柱中，四边形是平行四边形，∴．

∵，∴∥．

∵平面，平面， ∴∥平面．

（2）过点作交于，过点作交于．因为平面平面，所以平面．分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为，是等边三角形，所以为的中点．则，，，，，，B（，0，0）

（Ⅰ）设平面的法向量为，则

∵，，∴

取，得平面的一个法向量为

=（1，－，0）·=0∴∥平面．

（Ⅱ）可求平面的一个法向量为．

设二面角的大小为，则．

∵，